تحلیل شبکه های تهویه معادن بر اساس معادلات H در روش نیوتن – رفسون

نویسنده :

حسن مدنی، بیژن ملکی

1. 1. استادیار دانشگاه صنعتی امیرکبیر ۲. استادیار دانشگاه بین المللی امام خمینی

دریافت ۱۷ فروردین ۱۳۸۷، پذیرش ۱۹ مرداد ۱۳۸۷

چکیده

برای تحلیل شبکه های تهویه معادن معمولا باید از روش های تقریبی کمک گرفت، روش هاردی – کروس یکی از روش هایی است که از سالها قبل بدین منظور استفاده می شده است و بسیاری از نرم افزارهای تحلیل شبکه های تهویه، بر این اساس طراحی شده اند. روش نیوتن – رفسون از جمله روش هایی است که از دیرباز برای حل تقریبی معادلات ریاضی به کار می رفته است. اگر چه روش نیوتن – رفسون برای تحلیل شبکه های انتقال مایعات بارها مورد استفاده قرار گرفته اما در شبکه های تهویه کمتر از آن استفاده شده است بسته به اینکه شدت جریان شاخه های شبکه و یا ارتفاع نظیر انرژی در گره های شبکه های تهویه مبنای استفاده در روش نیوتن رفسون قرار گیرد، این روش به همان نام خوانده می شود. در این مقاله، ارتقاع نظیر انرژی در گره ها مبنای مطالعه قرار گرفته است، با استفاده از این روش، پس از شماره گذاری شاخه ها و گره های شبکه تهویه، حتی برای حرکت هوا در هر شاخه در نظر گرفته و با توجه به جهت جریان انتخابی، ارتفاع نظیر فشار در هر گره به طور تخمینی تعیین می شود. پس از تعیین معادلات H مربوط به شاخه های ارتفاع نظیر فشار واقعی به دست می آید و بر اساس آن، شدت جریان واقعی هر شاخه تعیین می شود.

1- مقدمه

طراحی و اجرای یک سیستم تهویه صحیح در معادن و په ویژه معادن زغال سنگ، علاوه بر تامین سلامتی افراد و جلوگیری از خطراتی نظیر انفجار گاز و یا گردهای قابل انفجار، از جنبه بازده کار نیز بسیار مهم است. بدین منظور سیستم تهویه معدن باید به طور مناسبی طراحی و حرکت هوا در شاخه های تهویه تحلیل شود. در معادن کوچک که شبکه تهویه پیچیده ای ندارند، معمولا می توان شبکه تهویه را به روش دستی طراحی و تحلیل کرد اما در حالت کلی، بدین منظور باید از روش های تقریبی ریاضی کمک گرفت.

روش قدیمی نیوتن -رفسون از مدتها پیش برای حل تقریبی معادلات به کار می رفته و اگرچه در بعضی از فرایندهای صنعتی نظیر تحلیل شبکه های توزیع آب و فاضلاب نیز مورد استفاده قرار گرفته، اما در مورد شبکه های تهویه ،کمتر به آن پرداخته شده است. در این مقاله، چگونگی استفاده از این روش برای تحلیل شبکه های پیچیده مورد بررسی قرار گرفته است. برای تحلیل شبکه های تهویه می توان سیستم معادلات Q(شدت جریان) و یا H (ارتفاع نظیر فشار با انرژی را مورد بررسی قرار داد که در این مقاله سیستم معادلات H مورد استفاده قرار گرفته است. لازم به ذکر است که نحوه استفاده از معادلات Q نیز طی مقاله دیگری توسط نویسندگان این مقاله تشریح شده است.

۲- سیستم معادلات شبکه های تهویه معادن

شبکه های تهویه معادن از تعدادی حلقه تشکیل شده است که هر حلقه تعدادی شاخه دارد. به عنوان مثال شبکه ای که در شکل ۱، نشان داده شده چهار حلقه و ۱۲ شاخه دارد. مقصود از تحلیل چنین شبکه ای آن است که با معلوم بودن شدت جریان کلی Q که در نقطه A به شبکه وارد می شود مجهولات زیر به دست آید[۱]

الف – شدت جریان هوا در شاخه های ۱۲ گانه

ب- جهت جریان در شاخه هایی که در آنها جهت صحیح حرکت هوا از ابتدا معلوم نیست (مثل شاخه های FE، DE و EH)

ج- مقاومت کلی شبکه

د- افت فشار کلی شبکه

برای تعیین این مجهولات مجموعه معادلاتی را به شرح زیر می توان نوشت:

الف- در مورد هر یک از شاخه ها، رابطه زیر صادق است :

که در آنp₁Δ افت فشار شاخه، R₁ مقاومت شاخه وQ₁ شدت جریان عبوری از شاخه است

ب- در مورد هر گره، رابطه زیر را می توان نوشت:

ج- سرانجام در مورد حلقه، رابطه زیر وجود دارد :

مجموعه معادلات ۱ تا ۳، سیستم معادلات تحلیل شبکه را تشکیل می دهند که در حالت کلی حل آنها با روش های معمولی امکان پذیر نیست و باید از روش های تقریبی کمک گرفت که از جمله این روش ها، روش نیوتن – رفسون است که در این مقاله مورد بررسی قرار گرفته است .

3- مبانی ریاضی روش نیوتن – رفسون

روش نیوتن – رفسون برای حل تقریبی معادلات به کار می رود. برای تشریح روش، معادله ای مانند y=ƒ(x)را که به روش های متداول قابل حل نیست در نظر گرفته می شود. این معادله را می توان به طور تدریجی از طریق نزدیک شدن به محل تقاطع منحنی (x) ƒ با محور ها Xها حل کرد (شکل ۲).

اگر نقطه A محل تقاطع منحنی با محورها باشد و در نقطه   خطی بر این منحنی مماس رسم شود، ضریب زاویه، این خط به صورت رابطه ۴ خواهد شد .

و معادله خط مماس به صورت زیر خواهد شد.

اگر X ₁ طول نقطه ی تقاطع خط مماس با محور X ها باشد، واضح است که مختصات آن باید در معادله خط صدق کند. یعنی

و

اگرX₂طول نقطه تقاطع مماس بعدی بر منحنی با محور

ها باشد، نظیر رابطه ۷ را در مورد آن نیز می توان نوشت؛

و سرانجام رابطه کلی را می توان به شکل زیر نوشت :

عمل تصحیح یا تکرار تصحیح آنقدر ادامه می یابد که مقدار X_n+1 ریشه واقعی معادله

( y = ƒ(x را به دست دهد. در واقع این روش، محل برخورد منحنی مورد نظر با محور X ها را با تقریب دلخواه ارائه می کند.

۴- مسایل کلی در مورد تحلیل شبکه های تهویه به روش نیوتن – رفسون

حل همزمان سیستم معادلات شبکه ها با استفاده از رابطه عمومی نیوتن – رفسون به شرح زیر انجام می گیرد[۴]

در واقع، بردارهای وx و (x)f جانشین متغیر x و تابع ƒ شده اند و معکوس ماتریس ژاکوبین یا

D^-1همان مقدار  در فرمول نیوتون – رفسون برای حل معادله منفرد است، اگر معادلات

Hها يعني ارتفاع نظیر انرژی هر گره هدف قرار گیرد، بردار x تبديل به بردارH خواهد شد. بنابراین، برای حل معادلات H خواهیم داشت .

ماتریس ژاکوبینD  نیز شامل مشتقات تابع ƒنسبت به H خواهد بوده یعنی

در رابطه ۱۱، D^-1 ماتریس معکوس D است و نظر به اینکه محاسبه ماتریس معکوس D در کامپیوتر مستلزم برنامه نویسی و اشغال وقت کامپیوتر است لذا باید مجهول معاون انتخاب شود. بدین منظور می توان نوشت؛

بدین ترتیب، رابطه عمومی نیوتن – رفسون با این تغییر متغیر خواهد شد.

عناصر ردیفی در ماتریس های D یا H های مجهول، معرف مشتق توابع یا معادلات ارتفاع نظیر انرژی در گرهها برحسب H هستند. بنابراین، عنصر اول سطر اول ماتریس، مشتق اولین معادله ارتفاع نظیر انرژی در مورد اولین گره نسبت به ارتفاع نظیر انرژی اولین گره است. اولین عنصر دومین سطر، مشتق دومین معادله ارتفاع نظیر انرژی در مورد دومین گره نسبت به ارتفاع نظیر انرژی اولین گره است و عناصر بعدی این سطر نیز به همین ترتیب تکمیل می شوند

مطالب یاد شده را می توان به زبان ریاضی و به شرح زیر نوشت [۴]

این رابطه را می توان به شکل ماتریسی نوشت.

با انجام تعداد n تکرار، مقادیرH₁ و H₂ و…وH_J ونیز Z₁ و Z₂ و….. Z_J محاسبه می شود و در تکرار مطلوب (1+n)، مقادير دقيق H₁ و H₂ و…وH_J  یا ارتفاع نظیر انرژی در گره های ۲،۱ و J به دست می آید.

۵- مراحل تحلیل شبکه های تهویه به روش نیوتن – رفسون با استفاده از معادلات H

مراحل تحلیل شبکه های تهویه با استفاده از سیستم معادلات H به شرح زیر است [۴]

الف – كليه شاخه ها و گره های شبکه شماره گذاری می شود.

ب- جهت جریان در شاخه ها مشخص می شود. بدیهی است این جهت گذاری حتی المقدور باید صحیح باشد تا محاسبات سریع تر به جواب برسد. در پایان تحلیل شبکه، شدت جریان نهایی مربوط به شاخه های با جهت جریان اشتباه، منفی خواهد بود.

ج- شدت جریان و جهت جریانی که به گره شبکه وارد و یا از آن خارج می شود، با احتساب نشت و شدت جریان شاخه های ثابت، مشخص می شود.

د– با توجه به جهت جریان انتخابی برای شاخه ها، ارتفاع نظیر فشار (H) در هر گره، به طور تخمینی تعیین می شود. واضح است که در مورد هر شاخه، ارتفاع گره ابتدایی باید از ارتفاع گره انتهای آن بیشتر باشد. هرچقدر این ارتفاعات تخمینی به جواب نزدیک تر باشد، مسئله سریع تر حل خواهد شد

ھ – در مورد شاخه های با تهویه طبیعی، ارتفاع گره ابتدایی شاخه که با سطح زمین ارتباط دارد، همان ارتفاع نظیر فشار تهویه طبیعی در نظر گرفته می شود.

پس از انجام مراحل یاد شده، با توجه به معادله پیوستگی در گره ها، معادلات H تشکیل و پارتفاعات گره های ابتدایی و انتهایی شاخه است، به دست می آید و با توجه به معادله ΔP=RQ² مقادیر شدت جریان هر شاخه محاسبه می شود.

برای تشریح روش، شبکه تهویه شکل ۳ را که مرکب از یک چاه ورود هواء سه چاه خروج هوا و تعدادی حفريات افقی معدنی است و شدت جریان هوا در چاهها ثابت است، در نظر گرفته می شود. هدف محاسبه شدت جریان سایر شاخه ها با استفاده از معادلات

H است، مقاومت شاخه ها برحسب کیلو مورگ، در شکل مشخص شده است.

از آنجا که در شبکه مورد نظر، شدت جریان شاخه های ثابت معلوم است و نیازی به تخمین شدت جریان اولیه نیست، لذا شاخه های با شدت جریان ثابت به عنوان شاخه های حقیقی شبکه تلقی نمیشود و فقط در معادله پیوستگی گره ها، شدت جریان این شاخه ها به عنوان شدت جریان های ورودی و یا خروجی گره ها دخالت می کنند. بنابراین، شبکه به صورت شکل ۴ ساده می شود.

اکنون سیستم معادلات H با توجه به معادله پیوستگی گره ها به شرح زیر خواهد بود.

از آنجا که اندازه عددی فشار برحسب Kg/m²و ارتفاع نظیر فشار برحسب میلی متر آب با هم مساوی است، لذا در این معادلات، به جای فشار از ارتفاع نظیر فشار استفاده شده است.

با توجه به آنکه از پنج رابطه پیوستگی ƒ₁تاƒ₅ ، یکی از آنها ترکیب خطی از سایر روابط است، بنابراین یکی از پنج رابطه یاد شده (رابطه  ƒ₃) حذف می شود. اگر مقادیر تخمینی اولیه H ها به صورت H₁=1000 =800, H₂ ,H₃=270, H₄=700 H₅=200,

میلی متر آب فرض شود، چهار رابطه پیوستگی مستقل5 ƒ1 , ƒ2, ƒ4, ƒخواهند شد .

باید توجه داشت که در این روابط H₃يعني ارتفاع نظیر فشار گره ۳ مجهول نیست و برابر افت فشار در چاه شماره ۸ است که به شرح زیر حاصل می شود :

میلیمتر آب H₃=R₁₀Q₁₀²=0/330²-270

به طور کلی در حل این سیستم معادلات پیوستگی،  گره ای حذف می شود که ارتفاع نظیر فشار أن معلوم باشد. اکنون مشتقات نسبیƒ₂ , ƒ, ₄ƒ, ₅ƒ  نسبت به H₁ و H₂ وH₄ H₅ به دست می آید.

با توجه به مقادیر Hوʹ H در اولین تکرار، معادله نیوتن – رفسون بر اساس رابطه ۱۵ به صورت زیر خواهد شد.

پس از حل این معادله، مقادیر Z₁ و Z_{2 3} Z وZ₄ زیر به دست می آیند.

اکنون ماتریس های رابطه ۱۸ با استفاده از مقادیر Z حاصله نوشته می شود :

با حل این دستگاه معادلات خواهیم داشت؛

پس از چند تکرار، جواب نهایی مسئله خواهد شد :

و برای تعیین شدت جریان هر شاخه از فرمولΔP=RQ² استفاده می کنیم. در این فرمول _ΔP قدر مطلق تفاضل ارتفاع نظیر فشار گره های ابتدایی و انتهایی شاخه است. در مثال مورد نظر، شدت جریان شاخه ها بر حسب متر مکعب در ثانیه خواهد شد :

برای تامین شدت جریان ثابت خواسته شده در چاههای ۱، ۸ و ۹ و با توجه به ارتفاع نظیر فشار گره های 1و4و5 باید از بادبزن و یا در تنظیم کننده کمک گرفت .

۶- برنامه کامپیوتری بر اساس روش نیوتن – رفسون

از آنجا که تحلیل شبکه ها با روش های دستی بسیار مشکل و وقت گیر است لذا بر اساس روش نیوتن – رفسون برنامه ای نوشته شد که قادر است شبکه های مختلف را تحلیل کند.

روایت اولیه این برنامه به زبان بیسیک نوشته شده که با وارد کردن اطلاعات شبکه از قبیل تعداد شاخه ها، تعداد حلقه ها، حداکثر دفعات تکرار لازم و تعداد بادبزن ها، شدت جریان نهایی شاخه ها محاسبه می شود.

۷- نتیجه گیری

از آنجا که تحلیل شبکه های تهویه معادن با روش های دستی مشکل و در پاره ای موارد غیر ممکن است لذا اجبارا باید از روش های تقریبی حل معادلات کمک گرفت. در مقاله حاضر، معادلات H مبنای کار قرار گرفت و با استفاده از روش نیوتون – رفسون، روشی برای حل این معادلات ارائه شده برنامه کامپیوتری که بر اساس این روش تهیه شده قادر است شبکه های تهویه معادن را در زمان کوتاهی تحلیل کند و در عین حال مشکلات روش هاردی کراس را ندارد .

۸- پیشنهادات

از آنجا که اکثر برنامه های کامپیوتری که برای تحلیل شبکه های تهویه ارائه شده، بر مبنای روش هاردی کراس بنا شده اند، لذا استفاده از روش نیوتن – رفسون به عنوان یک رویکرد دیگر در این زمینه ارائه شد. از آنجا که برنامه کامپیوتری تهیه شده به زمان بیسیک نوشته شده است، لذا پیشنهاد می شود که محققین جوان، بر مبنای این روش، برنامه های کامپیوتری جدیدی تهیه و ارائه کنند.

منابع [1] مدنی، حسن؛ (۱۳۸۵): “تهویه در معادن ؛ جلد اول، چاپ

پنجم؛ انتشارات مرکز نشر دانشگاهی

[۲] هوسکینگ، رج- جویس، دس ترنر، جس؛ (۱۹۷۸)؛ نخستین گام ها در آنالیز عددی ؛ ترجمه اسماعیل بابلیان، میر کمال

میر نیا؛ انتشارات مرکز نشر دانشگاهی

[3] Wanj, Y.I-Mutmansky, J.M.; (1997); “Modeling

Mine Ventilation Networks Using Five Basic Network Elements”; Mining Engineering.

[۴] ملکی، بیژن (۱۳۶۹)؛ آنالیز شبکه های تهویه معدن به وسیله ریز کامپیوتر؛ پایان نامه کارشناسی ارشد، دانشگاه

صنعتی امیر کبیر

[۵] مدنی، حسن؛ (۱۳۸۲)؛ تهویه در معادن جلد دوم، انتشارات

دانشگاه صنعتی امیرکبیر

[6] Khaled Ali El-Nagdy: (2008); “Analysis of

Complex Ventilation Networks in Multiple Fan Coal Mine”; Ph.D thesis, West Virginia University.

[7] Exikis, A. Kapageridis,I.K; .(2006), “Simulation of

Air and Contaminant Flow in Underground Mine Ventilation NetworksY; Technical Education Institute of Western Macedonia, Greece.